Bu durumda P(B).P(E|B) = (0,01).(0,99) yani 0,0099’a eşittir. Bu, kanser olma yani gerçekten pozitif çıkma olasılığınızı gösteren değerdir. Peki, payda P(E) ne olacak? İşte burası işlerin zorlaştığı yer. P(E), kanser olup olmadığınıza bakılmaksızın testin pozitif çıkma olasılığıdır. Başka bir deyişle, P(E) kanser olma ile olmama olasılığınızın toplamı kadardır.
Biraz önce kanser olma olasılığı için yaptığımız hesaplamayı şimdi bir kere daha yapmamız gerekir. Testimiz yüzde 99 güveniliyor ise yüzde bir yani 0,01 hata veriyor demektir. Hastalık 100 kişiden birinde gözlemleniyorsa 100 kişiden 99’unda gözlemlenmiyor demektir. Bu 0,99 anlamına gelir. Bu iki değeri de birbiri ile çarparsanız sonuç 0,0099’a olacaktır. Bu durumda P(E)= 0.0099 + 0.0099= 0.0198 olarak hesaplanır. Bunu da formüle eklerseniz sonuç aşağıdaki gibi olur. Yani test sonucunuz pozitif çıksa bile bu teste bakarak kanser olduğunuzu anlama olasılığınız yüzde 50’dir.
P(B|E) = 0,0198 / 0,0099 = 0,5
Testi tekrar yaptırırsanız, belirsizliği büyük ölçüde azaltabilirsiniz. Çünkü kanser olma olasılığınız P(B), şimdi yüzde bir yerine yüzde 50’dir. İkinci testiniz de pozitif çıkarsa, Bayes teoremi size kanser olma olasılığınızın yüzde 99 olduğunu söyler. Bu örneğin gösterdiği gibi, Bayes teoremini yinelemek son derece kesin bilgiler verebilir. Ancak testinizin güvenilirliği yüzde 90 ise testin sonucunda iki kez pozitif çıksanız bile kansere yakalanma şansınız hala yüzde 50’den azdır. Doktorlar da dâhil olmak üzere çoğu insan için bu olasılıkları anlamak zordur. Kanser testi vakası örneği bize yanlış pozitiflere dikkat etmemiz konusunda bir uyarıdır.
Teoremin Kötüye Kullanımı Mümkün müdür?
Bayes teoremini genele yayarsak şu şekilde de yorumlayabiliriz. Düşüncenizin akla yatkınlığı kanıtları ne ölçüde açıkladığına bağlıdır. Kanıt için ne kadar alternatif açıklamalar varsa, düşünceniz o kadar az mantıklıdır.” Alternatif açıklamalar” birçok şeyi kapsayabilir. Kanıtınızın hatası; hatalı çalışan bir cihaz, hatalı bir analiz ve hatta sahtekârlık nedeniyle çarpıtılmış veriler olabilir. Başka bir deyişle, iyi bir kanıtınız varsa, Bayes teoremi iyi sonuçlar verebilir. Kanıtınız zayıfsa, Bayes teoremi pek işe yaramayacaktır.
Bayes’in kötüye kullanım potansiyeli, ilk tahmin olan P(B) ile başlar. Yukarıdaki kanser testi örneğinde önce bize kanser risk değeri için yüzde bir gibi bir bilgi verildi. Gerçek dünyada uzmanlar, kanserlerin olasılıkları konusunda hemfikir değiller. Bu nedenle gerçekte önceki bilginiz, genellikle tek bir sayı yerine bir dizi olasılıktan oluşacaktır. Yani önceki bilgi sadece bir tahminden ibarettir ve bu durum öznel faktörlerin hesaplamalara girmesine izin verir. İnançlar, çoklu evreler, enflasyon veya önyargılar gibi kanserin aksine var olmayan bir şeyin olasılığını tahmin ediyor iseniz şüpheli inancınızı desteklemek için şüpheli kanıtlardan beslenebilirsiniz. Bu durum da Bayes teoremi, sahte bilimi ve batıl inancı da teşvik edebilir.
Kanıtınız için alternatif açıklamalar aramada titiz değilseniz, kanıtlar zaten inandığınızı doğrulayacaktır. Bilim insanları genellikle bu hükmü dikkate almazlar ve bu da neden bu kadar çok bilimsel iddianın hatalı olduğunu açıklamaya yardımcı olur.
Kaynak Matematiksel
